brocard noktaları ne demek?

Brocard noktaları, geometride bir üçgen içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi Henri Brocard'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

Tanım

Kenarları a, b ve c, köşeleri saat yönünün tersine doğru A, B ve C olarak adlandırılmış bir △ABC üçgeninde, A**P, B**P ve C**P sırasıyla c, a ve b kenarlarıyla eşit ω açısı yapacak şekilde bir P noktası bulunur.

∠PAB = ∠PBC = ∠PCA.

Bu P noktasına △ABC üçgeninin birinci Brocard noktası ve ω açısına üçgenin Brocard açısı denir. Bu açı şu denklemi sağlar:

cot ω = cot α + cot β + cot γ.

△ABC üçgeninde A**Q, B**Q ve C**Q doğru parçalarının sırasıyla b, c ve a kenarlarıyla eşit açı yapması şartını sağlayan bir Q, ikinci Brocard noktası, bulunur. Diğer bir deyişle

∠QCB = ∠QBA = ∠QAC

denklemi bu nokta için de geçerlidir. Dikkat çekici biçimde, bu ikinci Brocard noktası ile birinci Brocard noktası aynı Brocard açısına sahiptir. Yani

∠PBC = ∠PCA = ∠PAB

∠QCB = ∠QBA = ∠QAC

birbirine eşittir.

İki Brocard noktası arasında yakın ilişki vardır; aslında ikisi arasındaki fark △ABC üçgeninin açılarının hangi sırayla seçildiğine bağlıdır. Örnek verilirse, △ABC üçgeninin birinci Brocard noktası, △ACB üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır.

△ABC üçgeninin iki Brocard noktası birbirinin izogonal eşleniğidir.

Elde edilmesi

Brocard noktalarını oluşturmanın en iyi yolu için şöyle denebilir. Verilecek örnekte sadece birinci Brocard noktası ele alınacak ancak ikinci Brocard noktasını bulmak buna çok benzerdir.

A ile B noktalarından geçen, üçgenin B**C kenarına teğet bir çember (bu çemberin merkezi A**B'nin orta dikmesi ile B noktasından B**C'ye dik olarak çizilecek doğrunun kesişim noktası olacaktır) oluşturulur. Simetrik olarak, B ile C noktalarından geçen, A**C kenarına teğet ve A ile C noktalarından geçen, A**B kenarına teğet çemberler çizilir. Bu üç çemberin ortak tek noktası, △ABC üçgeninin birinci Brocard noktasıdır.